Aparece como a única maneira de receber email do servidor do Exchange é via IMAP (ou OWA). Como resultado, estamos limitados a ferramentas que podem falar IMAP (ou possivelmente MAPI no lado do Exchange). Também acho que a maneira correta de enviar essas mensagens para o Gmail é usar o IMAP (ou possivelmente a API do Gmail).
Como o IMAP é o denominador comum e o método mais comumente usado para copiar mensagens de e-mail, parece ser a melhor ferramenta nesse caso. Você poderia tentar entregar as mensagens via SMTP, mas estaria sujeito ao filtro de spam do Google, etc., além do fato de que as mensagens seriam alteradas.
Agora, se você tivesse acesso à configuração do domínio e / ou servidor, poderia ter configurado algum tipo de entrega dividida (também conhecida como entrega dupla), mas vou assumir que esse não é o caso aqui dadas as informações que você forneceu.
Vamos voltar às possíveis soluções. A solução que se destaca como a mais óbvia para mim é usar imapsync para buscar mensagens do servidor Exchange e enviá-las ao Gmail. Você poderia então executar isso a cada 30 minutos ou mais usando o crontab.
Isso, no entanto, vem com algumas limitações, como se fosse uma solução unidirecional (ou seja, você nunca exclui mensagens do servidor Exchange, portanto, ele pode ser preenchido).
Você deve encontrar muitos exemplos de como configurá-lo usando uma pesquisa rápida no Google.
Por favor, note que você também pode ajustar o imapsync para sincronizar apenas a sua caixa de entrada, ou outras pastas também. Se você está recebendo apenas mensagens de entrada e não tem regras que movam mensagens, apenas sincronizar a caixa de entrada deve ser suficiente.