A maioria dos laptops, pelo menos na minha experiência, não verifica telas adicionais até que você faça o login no sistema operacional. Como o ABashore sugeriu, se você puder de alguma forma obter o BIOS configurado para procurar por uma tela externa durante a inicialização, você pode encontrar sucesso. Mas isso só irá ajudá-lo se você puder entrar na BIOS em primeiro lugar e a BIOS realmente suportar o uso de um monitor externo como a tela padrão (que eu nunca tive nenhum dos meus laptops, mas você nunca sabe). Basicamente, você precisa de uma tela para configurar uma tela. Apanhe 22.
Sua melhor opção, se você conseguir se conectar ao laptop de alguma forma, é atualizar seu laptop para fazer login automaticamente a partir de agora, ignorando a tela de login usando um login padrão. Isso pode ser feito no Windows. Não tenho certeza em outros sistemas operacionais. Novamente, no entanto, você precisa entrar no sistema operacional primeiro para fazer as alterações que permitirão que você entre no sistema operacional.
Infelizmente, vendo que a sua máquina não inicializa mais, estou pensando que é muito mais provável que você tenha poucas chances de sucesso sem reparar a exibição embutida, a menos que você consiga se reinicializar em um SO.