Você precisa de espaço livre suficiente para arquivos temporários criados pelo sistema operacional. Se você não tiver espaço suficiente para isso, os processos falharão, mas, em geral, isso não causará falhas.
Lentidão sim antes que seja provável que seu sistema de arquivos seja mais fragmentado e que novos arquivos criados sejam espalhados para se ajustarem a quaisquer blocos que ainda restarem. Não há números concretos, mas você provavelmente verá alguns problemas quando o espaço livre estiver abaixo de 5-10% da minha experiência, mas isso realmente depende do seu padrão de uso. Por exemplo, se tudo que você faz é navegar na web, então, enquanto o cache do brower for suficiente, você está bem.