Acessar o endereço IP do cliente é muito fácil. No meu .profile, tenho o seguinte trecho:
PS1="\T [\h:\w]\n(from ${SSH_CLIENT%% *}) $ "
que produz um prompt de duas linhas com a seguinte aparência:
08:25:14 [fluorine:~]
(from 72.69.85.67) $
Se a obtenção do nome de host do cliente for realmente importante para você, você poderá usar esse endereço IP e fazer uma pesquisa reversa de DNS no endereço IP extraído (assumindo que dig ou algo similar esteja instalado no servidor).
Ou, como você sugere, você pode enviar variáveis de ambiente para o servidor, supondo que você tenha o servidor ssh configurado para isso. Você pode consultar esta resposta para obter ajuda ao fazer isso.