Você pode instalá-lo em um local que não requeira privilégios de administrador para modificar, como sua pasta de usuário.
Eu tenho o Firefox 3.6.6 em execução no Windows 7 de 64 bits. O problema é este: quando o Firefox procura por atualizações (de si mesmo, não de addons) e tenta instalá-las, recebo uma mensagem de erro dizendo algo assim (eu tenho em espanhol, isso é uma tradução):
A recommended stability and security update is available, but you don't have the required system permissions to install it. Contact your system administrator o try again with an account that has permission to install software in this computer.
O que eu entendo é que, como o Firefox está sendo executado como um usuário não-administrador normal, ele não pode atualizar seus arquivos. Atualmente, a única maneira de atualizar o Firefox é baixar o instalador e instalá-lo manualmente, dando-lhe poderes de administração quando necessário. Existe outro jeito?
Tente executar o FireFox como admin (Executar como administrador no menu de contexto). Talvez então se atualize.
O Firefox 25 poderá fazer atualizações automáticas silenciosas, mesmo que esteja instalado em um diretório em que o usuário atual não tenha permissão de gravação.
Rodar o Firefox como admin é um risco de segurança, não faça isso.