Suponho que você já tenha tentado entrar no AMD Catalyst Control Center e (separadamente) propriedades de tela do próprio Windows (clique direito na área de trabalho) e tentar ativar os dois monitores?
Se este for um problema NOVO (você já fez isso funcionar antes com o mesmo hardware)
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Tente atualizar seus drivers. Observe que você está usando uma placa de vídeo sem suporte de fim da vida útil que não está mais recebendo atualizações de drivers regulares da AMD, portanto, se for um problema de driver, há muito pouca esperança de que uma correção chegue.
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Tente reinstalar o Windows ou, pelo menos, inicialize um Live CD / DVD do Ubuntu ou do Fedora e veja se ele pode detectar e inicializar os dois monitores.
Se você nunca fez o monitor duplo funcionar antes
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Pode ser que a resolução total de ambos os monitores (soma vertical e horizontal) seja maior que o tamanho do framebuffer da sua GPU. Considerando o quão antiga é a sua GPU, isso não é muito difícil de imaginar ser o caso. Eu só consegui encontrar um site anedótico depois de muitos minutos pesquisando, mostrando que a resolução máxima é possivelmente 2560x1600. Se você estiver tentando conectar duas telas 1080p (1920x1080), então 1920 * 2 = 3840 e 1080 * 2 = 2160, ambas são maiores do que os respectivos componentes WxH de 2560 e 1600.
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Pode ser que o suporte ao driver não esteja lá. Novamente, tentar atualizar para o driver suportado mais recente ou executar o Ubuntu para ver se ele também quebra, pode fornecer mais informações.
Parece que você não é o apenas um com esta questão, também.
A única solução real que consigo pensar é usar uma GPU realmente moderna.