Do fato de que os fãs começam e param, eu arriscaria a suposição de que o problema é com a fonte de alimentação (PSU) que precisa de substituição. Meu palpite é que algum capacitor interno dentro da PSU está morrendo, então é lento para recarregar, para que várias tentativas sejam necessárias antes de recarregar o suficiente para inicializar.
Enquanto substitui a PSU, eu também substituo a bateria, apenas por boas medidas.
De qualquer forma, se você não é um técnico, é melhor que um técnico dê uma olhada nele no caso de alguma conexão estar solta por dentro. De preferência, um técnico que conheça o modelo do seu laptop.
Você também pode tentar descarregar completamente todos os capacitores internos
usando o truque do botão de energia do computador
(embora eu realmente não acredite que isso ajude):
Desconecte tudo do laptop, incluindo bateria e energia,
pressione o botão de energia algumas vezes para descarregar completamente,
deixe por 30 minutos e depois reconecte.