Abra o terminal e digite:
echo $JAVA_HOME
Se java_home estiver definido, você verá um valor. Eu tenho o Tomcat em execução no meu servidor Debian, sem o conjunto java_home. Por que isso funciona? Eu não sei ao certo, mas provavelmente por causa do uso de diretórios padrão para Java, então o Tomcat sabe onde procurar. Se o java não estiver lá, ele irá reclamar durante a instalação ou durante a execução.