Você pode criar um "navegador específico do site" (SSB), usando o Fluid.app, que é dedicado ao tinychat.
Mais sobre Fluid.app aqui: link . O Fluid ainda usa o Webkit para renderização, portanto as páginas devem ser exatamente iguais às do Safari.
Depois de criar o SSB, você pode ocultar a barra de ferramentas do navegador para não ver o ícone Atualizar.
Além disso, como é um aplicativo separado do Safari, você deve ser capaz de substituir o atalho de atualização do Command-R nas Preferências do Sistema do seu Mac, mantendo-o no lugar no Safari para todos os outros sites.
Para fazer isso, vá para Prefs do sistema > Teclado > Atalhos de teclado > Atalhos de aplicativos. Basta criar um novo atalho para o Command-R que faça algo inócuo, como, talvez, "Window > Bring All To Front".