Eu usei o seguinte para iniciar a sessão de tela com um arquivo de log específico.
screen -dmS <sock_name> && \
screen -S <sock_name> -X logfile <logfile_name> && \
screen -S <sock_name> -X log
Descrição:
screen -dmS <sock_name> #Start detached screen session
screen -S <sock_name> -X logfile <logfile_name> #Use logfile command to set logging file
screen -S <sock_name> -X log #Use log command to start logging