O sistema operacional não tem muito a ver com a renderização do conteúdo da web. Isso definitivamente não influenciará o layout da página (ou seja, o posicionamento de blocos e o fluxo de texto); esse é o trabalho do mecanismo de renderização do navegador. Não conheço nenhum sistema operacional que pule explicitamente nos navegadores para alterar onde as coisas aparecem.
O SO pode, no entanto, afetar coisas menores, como a renderização de fontes. O Windows, por exemplo, tem um recurso chamado ClearType que conhecido para impactar a aparência do texto do Chrome para melhor. Sistemas operacionais sem esse recurso, portanto, verão um texto ligeiramente diferente, e sistemas operacionais diferentes terão uma renderização de fonte ligeiramente diferente. Além disso, alguns sistemas operacionais têm maneiras convenientes para muda qual fonte é usada . Os drivers de vídeo e a placa de vídeo física poderiam afetar a renderização de qualquer coisa para a qual o navegador usa aceleração de hardware.
Além disso, elementos de interface do usuário "nativos" como caixas de seleção, menus suspensos e caixas de texto definitivamente terão aparências diferentes do sistema operacional para o sistema operacional, a menos que o navegador faça sua própria renderização especial.
Além disso, você provavelmente não verá grandes diferenças entre, digamos, o Firefox no Windows e o Firefox no Linux. Se você fizer isso, há quase certamente diferenças no código do navegador que é usado em suas compilações para os diferentes sistemas operacionais.