Apenas um palpite, mas o exim pode estar em um local que não está em seu caminho por padrão. E se exim não for encontrado, uma mensagem em branco é o que seu script irá produzir.
Quando você faz login, você tem uma variedade de arquivos como .bashrc que adicionam diretórios ao seu caminho. Mas esses arquivos de configuração não são todos originados quando o cron é executado. Tente isso na linha de comando ...
$ which exim
/usr/local/somepath/exim
Em seguida, use o caminho completo resultante no seu script ...
/usr/local/somepath/exim -bpc | mail -s'Exim_queue_size' [email protected]