Você pode tentar usar o programa bacana a seguir para ver onde o Chrome tenta instalar sua extensão específica: Sandboxie
(Observe que não é grátis, então há um limite de 30 dias de teste)
Para ver onde o Chrome instala a extensão, primeiro você precisa executar o Chrome dentro do Sandboxie, que interceptará a instância específica do Chrome em um sandbox. O que isso significa é que sempre que o Chrome tenta fazer uma alteração no sistema, por exemplo, excluindo um arquivo, a ação acontece em uma réplica do arquivo em questão e não no original. No caso de criar um arquivo, o arquivo é criado no sandbox e o Sandboxie pode revelar facilmente apenas os novos arquivos criados ou modificados pelo Chrome.
Assim que estiver em execução, crie um novo perfil e adicione a extensão que você está procurando a ele. Depois que a extensão for instalada, você poderá fechar o Chrome com segurança.
Em seguida, você precisa inspecionar o conteúdo do Sandbox para ver onde o Chrome criou a extensão. Depois de descobrir o caminho, você pode pegá-lo no caminho sem sandbox.
Há um simples guia em seu site, que explica as etapas com mais detalhes.