Parece que há várias coisas acontecendo:
When unplugged during use, it does not shut down or hibernate, it just cuts off. The computer recognizes the battery and charges it, but does not use it.
Isso provavelmente significa que você tem uma unidade defeituosa. Eu já vi laptops fazer isso antes, e geralmente é consertado tentando uma bateria diferente.
When I was running windows 7 previous to the hard drive crash, the battery would drain and cut power, near the end without even warning it was low or going into hibernation before it cut. I thought this was due to the battery not being calibrated.
Isso pode ser causado por uma bateria não estar calibrada como você sugeriu. Na minha experiência, tenho visto baterias que foram calibradas, mas que ainda seriam desligadas porque eram velhas.
If so, can I continue to use it like a desktop on AC power? And would that harm the computer to have a fully charged LiIon battery in it constantly while it uses AC power?
Não prejudicará o seu laptop para ter uma bateria nele o tempo todo. Dito isto, as baterias precisam ser exercitadas, e morrerá muito mais rápido se não for regularmente drenado. Parece que você tem uma bateria descarregada, então não haverá nenhum dano adicional.