What is a better way of providing access to all these files to these people?
Use um design de sistema operacional para essa finalidade, como o Windows Server 2012.
We do want them to 'work on the server' rather than copy it on their local PCs and copy it back. This way (the current way) prevents two people from overwriting each other's files.
As versões mais recentes do Word indicam quando alguém está editando um arquivo do Word. Como você está usando um sistema operacional não-servidor de 6 anos, acho que você não está usando uma versão recente do Office.