Se este for um monitor de LCD (flat), o desmagnetizador não será uma opção. Normalmente, isso significa que o controlador de tela está tendo problemas ou o próprio painel LCD está indo mal.
No passado, tive algum sucesso na resolução de pixels presos em monitores LCD ao reproduzir um vídeo de cores brilhantes que piscavam rapidamente, mas já faz algum tempo que eu tentei isso, e isso geralmente era para pixels únicos que eram preso.
Se a linha desaparecer quando a tela estiver em uma cor sólida, isso parece indicar um problema com o controlador de telas, em vez de o próprio painel LCD ter um problema. Infelizmente, isso significaria que a questão é irreparável.
Como sempre, tente as coisas simples primeiro: Remova os drivers de vídeo e reinstale-os. Tente conectar a tela a um computador diferente e veja se o problema persiste. Observe a tela quando o computador estiver desligado (pressionar os botões na tela normalmente acenderá a tela rapidamente.