Primeiro, verifique se o Mint está atualizado.
sudo apt-get update
sudo apt-get dist-upgrade -y
Você precisará atualizar / baixar seus cabeçalhos Linux, por este artigo .
sudo apt-get install linux-headers-$(uname -r)
Quando as coisas forem atualizadas, mantenha o terminal aberto e faça o cd no diretório apropriado. Meus drivers ATI estavam na pasta de downloads. Depois de encontrar e extrair os drivers, use o bash para executá-los. Deve ser algo parecido com o que eu digitei abaixo.
sudo bash ati-fglrx-versionnamehere.sh
Você digitará o prompt e será perguntado qual tipo de pacote você deseja instalar, já que os pacotes padrão são específicos da distribuição. Você também tem a opção de criar o seu próprio. Como você está usando o Linux Mint, é provável que o pacote para o Ubuntu 14/15 funcione para você. No entanto, você também pode escolher o instalador genérico e deixar o programa fazer o trabalho para você. Eu descobri que não é totalmente crítico conseguir essa parte certa.
Nota: Pelo menos na minha experiência, recebi vários erros - especialmente sem os cabeçalhos apropriados. Você provavelmente pode ignorar isso. Os drivers provavelmente ainda funcionarão.
Quando a instalação estiver concluída, reinicialize e execute o seguinte comando quando voltar para a sua área de trabalho:
sudo amdcccle
Espero que ajude!