A HP é um defensor total quando se trata de baterias OEM e baterias externas (ou seja: carregadores). A razão pela qual isso funciona na sua Lenovo é porque ela simplesmente funciona. Não há nada "errado" com sua bateria externa. O problema está no firmware fabricado pela HP.
A HP muitas vezes não carrega a bateria interna se detectar que o adaptador de energia CA não é o HP OEM. Minha experiência pessoal (centenas de HP's) tem sido que, às vezes, ele ainda fornece energia, mas não antes de solicitar, por meio do P.O.S.T., que o adaptador não seja OEM e não funcione adequadamente.
Estou confiante de que este é o problema que você está enfrentando. A HP só quer que você compre itens da HP para que eles programem para detectar apenas os dispositivos (bateria e carregadores) e limitem qualquer outra coisa. O dispositivo funciona claramente se você conseguir acessar a tela que você postou. Seu computador HP também sabe que você não está usando um dispositivo OEM, com base em seu prompt. A partir daí, a HP simplesmente não permite que o dispositivo faça isso e afirma que "não está funcionando corretamente".
EDIT: O mesmo pode ser dito para os produtos Dell e Apple.