Você ficaria melhor com o Dropbox, o Google Drive ou o OneDrive.
O Azure oferece serviços de armazenamento, mas é destinado a aplicativos , não a usuários finais. Portanto, não há uma interface bonita para navegar o que você armazena lá, apenas uma API. Existem aplicativos de terceiros que fornecem essa navegação, mas, como você está lidando com dados pessoais e não dados de aplicativos, eu recomendo um armazenamento em nuvem "padrão".