Não conheço nenhum navegador que permita ao usuário selecionar uma interface à qual vincular, embora possa haver. A maioria dos navegadores permite que o sistema operacional decida. Em seguida, o sistema operacional consulta a tabela de roteamento, que você pode configurar para associar IPs de destino a uma interface específica. No entanto, parece que você deseja usar interfaces diferentes para o mesmo destino, para o qual a tabela de roteamento não é suficiente.
Software de terceiros pode fazer o truque embora. Eu encontrei ForceBindIP para ser uma ferramenta de rede inestimável. Ele faz exatamente o que diz na lata: forçando os programas a se ligarem a uma interface específica, permitindo o controle sobre qual IP de origem usar por processo em vez de por destino, mesmo quando o programa em si não tiver esse recurso.
Como exemplo, tentei conectar a um servidor da web 'Neon' usando uma máquina com dois endereços IP, 192.168.120.32 e 192.128.120.64. A primeira vez, usou o antigo por padrão. Depois, lancei o navegador usando forcebindip.exe 192.168.120.64 firefox.exe
e visitei a mesma página. O log de acesso abaixo confirma ambas as solicitações originadas de endereços diferentes:
192.168.120.32 neon - [10/Feb/2014:14:14:03 +0100] "GET / HTTP/1.1" 200 1568 "-" "Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; rv:27.0) Gecko/20100101 Firefox/27.0"
192.168.120.64 neon - [10/Feb/2014:14:15:02 +0100] "GET / HTTP/1.1" 200 1568 "-" "Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; rv:27.0) Gecko/20100101 Firefox/27.0"