Infelizmente, você não pode usar o GMail para conversar com o IMAP em outra conta. Assim, você não pode manter facilmente a estrutura da sua conta existente sem ajuda externa.
No entanto, você pode usar o POP3 que a sua conta IMAP > provavelmente suporta. O POP3 pode ser usado para puxar e-mails de outra conta, mas ela não sabe sobre as pastas, então você só pode realmente puxar e-mails do INBOX.
Também é fácil configurar o Google para permitir o envio como um usuário diferente. Mas alguns domínios de e-mail (na verdade, muitos desses dias) não permitem que o e-mail seja enviado de qualquer lugar, exceto de seu próprio serviço SMTP. Isso é para ajudar a reduzir o SPAM. Então, isso pode não funcionar, você terá que tentar. Quando você envia um e-mail, poderá escolher o endereço do remetente, caso tenha configurado algum adicional.
De qualquer forma, as configurações para ambos são encontradas no ícone de roda dentada no Gmail, em Configurações, Contas e Importar.
Note também que o seu endereço do GMail será incluído no cabeçalho "Remetente" do e-mail, para que as pessoas com conhecimento possam encontrá-lo.
OK, essa é a única maneira do Gmail e não responde completamente às suas perguntas.
Como alternativa, você pode usar um dos dois métodos com ajuda externa:
Use um cliente de email para copiar / colar (ou arrastar / soltar) as pastas IMAP existentes para as pastas do Gmail que você criar. No Thunderbird, Outlook ou qualquer outra coisa, você pode acessar o Gmail via IMAP e as tags no Gmail são tratadas como pastas.
Você também pode usar um cliente de sincronização de e-mail, como o OfflineImap , que é uma ferramenta de linha de comando baseada em Python para sincronizar pastas IMAP.