Conecte os computadores antigo e novo via LAN (ethernet), diretamente, com um cabo dentro do gabinete. Se o novo computador deve se conectar à rede local, use um segundo adaptador de rede local. Isso cuidará da comunicação privada.
Usar o computador "antigo" sem monitor, teclado, mouse é fácil no Linux: Basta configurá-lo para nenhum console / gráfico, permitir login remoto, etc. Há uma abundância de sistemas embarcados usando Linux que funcionam dessa maneira. Ainda haverá muitos detalhes para cuidar antes que você possa usá-lo como "escravo".
No entanto, usar o BIOS sem monitor e teclado será difícil - o BIOS do PC não é construído para isso.
Se você é aventureiro, pode tentar substituir o BIOS por um BIOS de código aberto e personalizá-lo de acordo com as suas necessidades, mas isso será muito difícil e quase impossível se o seu hardware "antigo" precisa de inicialização especial.
Se você tiver sorte, seu BIOS inicializará adequadamente sem monitor e teclado, e você só precisará reconectar o monitor e o teclado no raro caso em que você terá que alterar alguma coisa.