Eu investiguei a implementação do linkdetect.px e parece que o endpoint só retornará dados quando você passar em um cabeçalho de referência, ou seja, eles estão verificando se você está chamando de seu próprio website. Não é possível falsificar um referenciador de um favorito, por isso, receio que não encontre uma solução fácil.
O melhor que você pode fazer é, talvez, fazer com que seu marcador aponte para algo como http://redirectdetective.com/?customsearch=%s e depois escrever um Greasemonkey script que encontrará o parâmetro 'customsearch', preencha automaticamente o campo de texto e envie o formulário para você. Basicamente, você escreve seu próprio JavaScript que corrige a falta de funcionalidade.