O OBS é um programa intensivo de gráficos, pois codifica vídeo, o que significa que sua placa gráfica aqueceria ainda mais. Os computadores geralmente se desligam quando detectam um superaquecimento do componente, o que provavelmente seria sua placa de vídeo, pois os ventiladores não estão girando. Abrir o case e usar os fãs definitivamente ajudará, mas não será uma solução permanente.
Como o Windows não tem nenhuma outra evidência de um motivo para desligamento além de ser inesperado, significa que é um problema de hardware ou o BIOS encerra o computador.
A própria placa gráfica pode ter um conector de energia solto (dois de 6 pinos, acredito) diretamente para a fonte de alimentação, ou os ventiladores podem estar mortos.