Para responder à sua pergunta principal: Não , o fato de o laptop superaquecer não significa que algo já foi danificado. Um pouco de limpeza provavelmente não faria mal, no entanto.
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O superaquecimento pode danificar o hardware, mas isso não deve acontecer em casos de uso normal, porque o computador deve desligar para se proteger antes que isso aconteça.
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Os sintomas do hardware danificado dependem do que foi danificado. No seu caso, eu suponho que os desligamentos são causados por superaquecimento e o computador se protege. A maioria dos componentes pode lidar com temperaturas acima do limite de desligamento, o limite de temperatura deve ser definido para que nenhum hardware seja danificado antes ou durante o desligamento.
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Se for verdade que o HP antigo estava sujo, limpá-lo e talvez reaplicar a pasta térmica ajudará. Eu não esperaria que ele executasse cargas de trabalho modernas com facilidade, no entanto. A execução de programas modernos em um sistema de 6 anos de idade pode ser bastante difícil, então espero que fique muito quente devido à alta carga.
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Remover a poeira do laptop ajudará a resfriá-la com mais eficiência, permitindo que ela mantenha uma carga alta por mais tempo e funcione com uma carga mais baixa. Há muitos fatores que podem tornar o computador mais lento, como um disco rígido fragmentado ou a execução de vários programas de uma só vez.