As telas não são universais. Existem diferenças físicas em onde e como os cabos de conexão são roteados, quais conectores são usados, a eletrônica e a interface, etc. Quase tudo pode ser feito se você tiver tempo, talento e dinheiro suficientes. No entanto, as chances são baixas de que as duas telas sejam intercambiáveis, no sentido de que tudo o que você precisa descobrir é como conectar fisicamente a tela de substituição e depois conectar seus cabos.
No que diz respeito aos seus dois laptops, uma solução melhor seria comprar uma tela de substituição direta, se valer a pena consertar a HP ou colocar esse dinheiro em um novo laptop. Coloque um Linux leve no Gateway e dê uma nova vida a ele. Há muitos que funcionam bem com recursos limitados em uma máquina antiga. Alguns são pequenos e carregam inteiramente na memória (aplicativos e tudo), e podem acabar com o desempenho do raio em uma máquina velha e cansada que você achava que não tinha valor.
Esta não é uma resposta direta à sua pergunta sobre como faço para trocar as telas. É improvável que isso seja prático, então essa é uma abordagem alternativa.