Você não mencionou o computador que possui: um Mac ou uma máquina Windows.
De qualquer forma, para um Mac é assim ...
Eu tive o mesmo problema há alguns meses. Com o iCloud, você pode ter todos os contatos sincronizados em todos os seus dispositivos.
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Se você estiver usando contatos do iCloud, você é bom para ir, você não tem nada para fazer. :)
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Se não, digamos que você nunca teve contatos no iCloud, como eu tive ...
a. Você primeiro precisa sincronizar seus contratos com o seu Mac, via iTunes.
b. Em seguida, exporte os contatos locais do aplicativo Contatos.
Ative os contatos do iCloud nas Preferências do Sistema > iCloud, se você ainda não fez isso.
c. Em seguida, importe o arquivo criado na etapa b. no seu iCloud, a partir dos aplicativos de contatos.
d. Quando você começa o novo telefone, tudo que você precisa fazer é configurar o iCloud e você terá todos os contatos.
Se você não sabe usar o iCloud, basta sincronizar seus contatos localmente e depois restaurar o backup no seu novo iPhone, quando o conseguir.