Não sei o que Hola faz, mas o que eu acho que é provavelmente a melhor opção é adicionar seu domínio VPN às permissões de extensão, então use chrome.webRequest e xmlhttprequest para enviar sua solicitação para lá.
Isso permite que você envie uma solicitação, mas o outro lado da VPN P2P não seria possível da mesma maneira devido a problemas de CORS e permissões. Aplicativos do Google Chrome usados para oferecer suporte a soquetes brutos, mas foram reprovados.
Com as apis atuais do navegador, você terá que criar um aplicativo nativo. Você poderia manter uma extensão do navegador que se comunica via mensagens nativas, ou simplesmente abandonar a extensão completamente e ter ambas as partes juntas no aplicativo (foi o que fizemos para a nossa VPN P2P, PenguinProxy).