Seu dispositivo requer o bcmwl-kernel-source. A versão nos repositórios não é construída corretamente para os kernels 4.0 e posteriores, como você viu. Com uma conexão de internet temporária, abra um terminal e faça:
sudo apt-get remove bcmwl-kernel-source
sudo apt-get install git-buildpackage
mkdir bcmwl-ubuntu
cd bcmwl-ubuntu
git clone https://github.com/longsleep/bcmwl-ubuntu.git bcmwl-ubuntu-master
cd bcmwl-ubuntu-master
gbp buildpackage -b -uc -us
sudo dpkg -i ../bcmwl-kernel-source_6.30.223.248+bdcom-longsleep0_amd64.deb
O módulo do kernel será construído automaticamente para todo o seu kernel instalado versões com a ajuda do DKMS e aplicar o patch conforme necessário.
Reinicie e seu wireless deve estar funcionando.