Eu finalmente consegui resolver o problema. Consegui resolver o problema movendo nosso site da zona Sites confiáveis para a zona da Intranet.
A razão pela qual isso funciona é porque a zona da Intranet, por padrão, aceita todos os cookies. As configurações do cookie da zona da Internet são determinadas pela guia Privacidade, a zona de sites confiáveis por padrão solicita todos os cookies, a zona restrita bloqueia todos os cookies. Há uma opção para substituir essas configurações importando um arquivo xml P3P para o IE, mas isso parece ser malsucedido, por isso acho que teremos apenas que conviver com o site na zona da Intranet. Isso obviamente terá que ser feito para cada máquina de usuários. Eu já fiz para a máquina do servidor, como a área de trabalho que você configurou para nós não parecia estar funcionando. Isso pode exigir que as configurações de Sites confiáveis também sejam definidas para a zona da Intranet, mas, como está funcionando para a máquina do servidor, presumo que todas as outras máquinas de usuários de desktop também estejam usando essas configurações na zona da Intranet.