A maneira mais fácil de fazer o que você está pedindo é configurar algum tipo de servidor proxy na frente dos navegadores e fazer com que os logs de captura do servidor proxy das solicitações HTTP. Você pode ler os arquivos de log com o Python.
Considere ferramentas de proxy, como Burp e Fiddler.
Caso contrário, você precisaria executar algum tipo de depurador de processo ou farejador de tráfego de rede (por exemplo, wireshark).