Não, não é possível instalar um sistema operacional em uma unidade externa.
Você deve primeiro trocar as unidades e depois executar o disco de instalação.
Ou você pode usar software de terceiros ou DOS para copiar seu disco rígido antigo para o novo SSD, para que você ainda tenha o mesmo sistema operacional. Embora isso leve mais tempo, mas ainda é possível se você quiser manter todas as suas coisas.