Acho que você está vendo seu IP da WAN quando está no seu modem a cabo e um IP da LAN quando está no seu roteador.
Um roteador direciona o tráfego entre duas redes (em uma configuração típica, um lado da WAN e um lado da LAN). Quando você conecta seu computador diretamente ao seu modem a cabo, você está se conectando diretamente à rede do provedor e obtém um IP atribuído por eles.
Quando você conecta o roteador ao modem, o roteador obtém esse IP da WAN e roteia o tráfego entre o provedor e os dispositivos conectados ao roteador. Todos esses dispositivos internos têm diferentes endereços IP locais para que possam ser identificados de forma única e conversarem entre si. O roteador usa uma tabela NAT (tradução de endereço de rede) para enviar tráfego para o dispositivo correto.
Se você estiver obtendo um endereço IP WAN diferente ao alternar dispositivos conectados ao modem, isso significa que seu ISP configurou seu serviço para que, sempre que um dispositivo solicitar um IP, ele receba um novo. . Você pode solicitar que seu serviço seja fornecido com um IP estático, para que seu endereço IP da WAN (Internet) nunca seja alterado.