Eu não sei se é isso que você está procurando, mas você pode tentar isso:
grep "pattern you are looking for" log.txt;tail -n 0 -f log.txt | grep "pattern you are looking for"
está chamando dois comandos um após o outro. primeiro você grep o padrão que você está interessado no arquivo de log e, em seguida, você inicia tail -f no final do arquivo redirecionando a saída para o grep.
no entanto eu sugiro que você faça isso usando apenas um comando, você pode especificar o número de linhas a serem exibidas pela cauda usando o parâmetro -n (+1 significa a partir da primeira linha):
tail -n +1 -f log.txt | grep "pattern you are looking for"