O Windows possui APIs que permitem visualizar o que está na área de transferência (e receber notificações quando o conteúdo é alterado). Também possui APIs que permitem colocar itens na área de transferência.
O RDP interage com a área de transferência no servidor e no cliente. Quando você copia algo, o RDP sincroniza o item nas pranchetas de ambas as máquinas, permitindo que você o cole (não sei se ele transfere dados no momento da cópia ou do tempo de colagem; é possível) .
Além disso, você está "conectado à rede da outra máquina". Não tão diretamente quanto uma rede local, mas você deve ter uma conexão de rede de algum tipo para que o RDP funcione. A internet é apenas uma rede gigante, afinal.
Veja também (observe que as APIs mencionadas nesses posts são as mais antigas; o Vista introduziu novas APIs de clipboard, mas o princípio básico é semelhante):
In the local session the TS client is in the clipboard viewer chain and in the remote session the RDPCLIP virtual channel application is in the viewer chain. When a clipboard update happens in the local session, the TS client is notified and informs RDPCLIP of the changes so it can propagate them to the remote session. Similarly, when a clipboard update happens in the remote session, RDPCLIP is notified and informs the TS client of the changes.