Sugiro configurar a filtragem no roteador, apenas permitir conexões a domínios específicos (URL que se conecta a jogos online) e negar o restante.
veja abaixo para configurar o mesmo no roteador d-link.
Para um centro de jogos, como posso desativar a navegação na Web em qualquer navegador. Mas o PC deve se conectar à internet para um jogo online.
Há muitas coisas que você pode fazer, você pode seguir o caminho do proxy ou tentar bloquear o navegador em clientes ou gerenciar por um servidor de DNS personalizado. Eu faria o proxy com linux e dansguardian mas se você não estiver em servidores linux você poderia preferir um appliance, como um firewall físico, algo como um zyxel não deve ser muito caro.