O LetsEncrypt oferece apenas certificados não-curinga por enquanto. Portanto, seu certificado para mysite.com é válido apenas para mysite.com . Não www.mysite.com e certamente não db.mysite.com .
Você pode obter um certificado novo que é válido para vários nomes de domínio :
certbot -d one.example.com -d two.example.com -d three.example.com -d example.org
Lembre-se dos limites de taxa, você pode tentar usar a API de teste ( --staging ) primeiro .