Parece que você fez algumas escolhas interessantes em relação à sua configuração de LAN.
Se eu interpretar sua pergunta corretamente, você a conectou assim
Modem > Switch > Router > Other Computer (WLAN)
> Old laptop
Se for realmente um roteador que você conectou APÓS o switch, e o laptop antigo conectado ao mesmo switch, mas NÃO ao roteador, eu diria que há boas chances de o roteador ter um servidor DHCP em execução, distribuindo endereços IP para seus computadores conectados a ele, mas o laptop antigo está extraindo seu endereço IP do modem via comutador (o que soa estranho, a menos que o modem tenha uma parte do roteador), o que na maioria dos casos levaria a um conflito de IP.
Por que você não se conectou assim:
Modem > Router > Switch > Old Computer
> Other Computer (WLAN)
Essa é a maneira mais comum de conectar as coisas, dessa forma, tanto o laptop quanto o outro computador se conectarão ao roteador e deixarão o roteador manipular o DHCP e o NAT, como é feito normalmente.