O erro "handshake" indica que o cliente e o servidor não puderam concordar sobre como configurar o canal seguro requerido para HTTPS. A versão do OpenSSL que você está usando é muito antiga e só entende SSL até sslv3, o que o servidor exige no mínimo. Daí o erro "sslv3" - ele está informando que tentou falar com o SSL v3 (que é menor que o TLS v1) e falhou em obter uma resposta significativa.
Você está sem sorte sem atualizar para uma versão mais recente do OpenSSL e, mesmo assim, a versão curl também precisa ser alterada para lidar com a versão mais recente do TLS.