Vamos chamar IP1 o endereço IP do roteador na eth1 e IP0 o endereço IP do roteador na eth0. Então esses dois comandos
sudo route add default gw IP1
sudo route add -host IP_of_Host_A gw IP0
garante que todos os seus aplicativos venham a best way
, ou seja, aquele com a menor métrica, e você pode forçar o ssh a usar a eth0 por meio de (supondo que eth0 tenha endereço IP xxx.yyy.www). zzz):
ssh -b xxx.yyy.www.zzz me@IP_Host_A