O que você está procurando é chamado de "notificação por email", às vezes também "biff". Veja gnubiff por exemplo. Existem várias alternativas disponíveis por apt-get.
Eu gostaria de fechar o Thunderbird, mas ainda receber notificações em segundo plano. Eu já vi outras perguntas sobre isso, mas elas fazem referência a FireTray e é compatível apenas com as versões do Thunderbird até 50 e eu tenho o Thunderbird 55.0.
Existe alguma solução ou terei de ficar bem com a minimização?