Isso não é possível. Você só pode se adicionar a um grupo com direitos de root.
Se fosse possível obter direitos de root como um usuário padrão, sem saber a senha da conta root, essa teria sido uma das maiores falhas de segurança que já existiu, então você pode razoavelmente esperar que nenhum Unix ou Linux permita que você faça o que você quer.
Para o seu registro, os arquivos responsáveis por isso são, entre outros, /etc/group
e /etc/passwd
, que só podem ser gravados pelo próprio root.