Comprei uma bateria nova e isso não ajudou. Como eu tinha certeza de que a bateria estava descarregando mesmo quando o sistema estava desligado, suspeitei que fosse algum tipo de problema no nível do firmware. Eu procurei na BIOS e vi o recurso Sleep And Charge e o desativei. Isso não fez diferença. Mas quando parei de procurar por problemas específicos de satélites e comecei a procurar por problemas de dreno de bateria específicos da Toshiba, tive mais sorte.
Encontrei este link link nos fóruns da toshiba. Mesmo que eu tenha desligado o sono e carregado na BIOS, nada foi corrigido até que eu executei este utilitário. E o utilitário mostrou que o sono e a carga estavam desligados. Mas uma vez que eu corri, as coisas magicamente melhoraram. Agora posso ficar desligado por 24 horas e perder apenas um ou dois por cento da energia, em vez de 40% ou mais.