"Eu sei o nome de usuário ftp com senha" - Se o sistema estiver configurado corretamente, você não deve ter acesso às tabelas do banco de dados de onde você está. Supondo que por algum motivo estranho você usuário ftp tem permissões suficientes para acessar o banco de dados, então você precisa usar uma ferramenta projetado para fazer backup de um banco de dados
Você precisa das seguintes coisas - você precisa saber o que é o banco de dados. Isso não é mencionado na pergunta. Você precisa de um software que possa despejar o banco de dados.
Supondo que você esteja usando o mysql (e eu preciso realmente chegar mais aqui), você usaria mysqldump para despejar o banco de dados mysqldump -u mysql_user -p [mysql_password] [database_name] > dumpfilename.sql
depois restaure-o com o cliente mysql da linha de comando - SO cobre isso bem mas basicamente tudo o que você está fazendo é executar o arquivo despejado como o usuário usando no cliente mysql como mysql -u mysql_user -p [mysql_password]< db_backup.dump
Se você não tiver certeza ou não tiver QUALQUER um desses elementos, é melhor falar com seu DBA ou administrador de sistema. Há também perguntas semelhantes em DB.SE e SO e usei este site como base para minha resposta (Eu não tolero o abuso de contas raiz tho) e os documentos do mysql . Vale a pena olhar para isso.
Se você não estiver usando o Mysql, a ferramenta apropriada pode ser encontrada pesquisando <databasename> dump
.