Você deve poder usar o comando tee
para canalizar a saída primeiro para um arquivo e stdout e, em seguida, o stdout para o segundo arquivo. Algo como:
echo $Log_general | tee Log1 > Log2
Editar:
Eu não vi sua edição Jennifer antes de postar, mas o uso acima não sai na tela para mim (estou rodando cygwin, ao invés de um terminal Linux - espero que a saída seja a mesma)