Fazendo isso com as ferramentas de desenvolvimento do Firefox, para que sua milhagem possa variar dependendo do seu navegador. Tente dar uma olhada na guia de rede e filtrar o tipo de solicitação para mídia. Ao reproduzir o vídeo, você verá as solicitações GET indo para uma rede de entrega de conteúdo. Pela aparência, o vídeo é dividido em várias partes. O nome das solicitações deve corresponder ao id na tag de vídeo. Você pode clicar com o botão direito do mouse e copiar cada URL e colá-los no navegador, o que deve fazer o download do segmento. Ou você pode usar wget ou programas similares para fazer o download.
Você provavelmente precisará usar algum marceneiro para reformá-lo em um único arquivo. Não faça muita edição de vídeo, então não tenho certeza se um arquivo padrão vai funcionar ou bagunçar alguma coisa com a codificação, então você terá que brincar com isso.