Não, os cartões inteligentes por design não têm um método para revelar a chave privada.
Mas você não precisa para extrair a chave privada - a autenticação SSH requer apenas a capacidade de assinar (e todo o conceito de "principais agentes" é construído sobre isso). Assim como o PuTTY-CAC pode criar assinaturas usando seu smartcard via CAPI (ou PKCS # 11), o Pageant-CAC pode faça exatamente o mesmo.
