Como alguém que tem uma configuração * AMP em um dispositivo pessoal, eu diria (sem relatos) que nunca tive nenhum efeito prejudicial ao deixá-lo funcionando continuamente.
Will it conflict with any network-related apps (Tor, Torrent, ...)?
Qualquer coisa que ocupe uma porta pode interferir em outro aplicativo.
Com relação a aplicativos específicos, definitivamente não para Tor ou torrents, pelo menos na maioria dos casos. O Skype pode ser um conflito em potencial a ser observado, pois ele usa as portas 80 e 443. Além disso, talvez os programas sejam executados nas portas 8008 ou 8080 (supondo que você tenha a configuração de desenvolvimento definida para ser executada nessas portas). Caso contrário, há pouco a se preocupar aqui.
Would it have some impact on the performance when for instance rendering a video or playing games?
O MySQL pode ser indiscutivelmente pesado em termos de uso de memória (várias centenas de megabytes ou mais), mas se isso realmente faz diferença (especialmente quando está inativo) seria algo que você teria que se julgar. O Apache requer quase nada para ser executado. Mais uma vez, experiência pessoal, nunca precisei desligar esses serviços para obter um bom desempenho de jogos / renderização / etc.
Does it have noticeable impact on battery, when not using an adapter?
Não que eu tenha notado.
Any security concerns?
Eu não diria mais que executá-lo em primeiro lugar. O wifi público pode ser um pequeno perigo (já que executar qualquer tipo de serviço pode apresentar mais vetores de ataque), mas meu palpite é que o perigo é relativamente baixo.