O que acontece, ou tem que acontecer, com o Office 2013 quando você instala o 2016 depende das versões do produto que você instalou.
A maioria dos pacotes com base no consumidor usa a tecnologia click-to-run. Não é possível ter duas versões diferentes de clique para executar no escritório instaladas lado a lado. Ele irá desinstalar 2013 ou não continuar.
Há também uma versão MSI do Office, que está disponível sob licença de volume com a Microsoft. Isso não está disponível para usuários domésticos. Se ele foi instalado, provavelmente não seria uma cópia legítima.
Você pode ter duas versões diferentes de dois tipos diferentes de Office. Como o Office 2013 MSI instalado ao lado do Office 2016, clique para executar.
Neste ponto, sugiro que você desinstale todos os componentes restantes de 2013 dos programas & características. Se você tiver problemas, poderá usar as etapas encontradas aqui para remover o Office e, em seguida, você pode reinstalar a versão que deseja.
Veja um pouco mais sobre as diferentes versões do escritório: link