Para colocar o arquivo zip no diretório correto:
Date=$(date +"%m-%d-%Y")
zip -r "/mnt/backups/backup.$Date" /home/folder/folder
Deve-se evitar o uso de todas as maiúsculas para variáveis shell. As variáveis importantes do sistema são todas maiúsculas e você não quer sobrescrever acidentalmente uma delas. Assim, o acima usa o caso misto Date em vez de DATE .
Gostaria, como você sugeriu, de .zip como o sufixo. Isso evita possíveis confusões no futuro. Além disso, não há necessidade de criar uma variável Date :
zip -r "/mnt/backups/backup.$(date +"%m-%d-%Y").zip" /home/folder/folder
Por fim, as datas no formato mês-dia-ano não são classificadas corretamente. O formato aaaa-mm-dd classificará naturalmente na ordem correta. A abreviação deste formato comum é %F . Então:
zip -r "/mnt/backups/backup.$(date +"%F").zip" /home/folder/folder